확률은 간단히 말해 어떤 일이 일어날 가능성이다.
어떤 사건에 대해 어떤 결과가 나올지 확실하지 않는 상황일 때, 특정 결과가 나올 우리는 확률에 대해 이야기한다.
그리고 확률을 토대로 사건에 대한 분석을 하는 학문을 통계학이라고 한다.
이번 글을 통해 확률에 대한 이해를 해보자.
확률에 대한 이해
확률을 이해하는데 가장 좋은 예시는 동전 던지기이다.
동전을 던져 앞면이 나오는 확률은 얼마일까? 대부분의 사람들은 직관적으로 확률이 50%라는 것을 알 수 있다.
이러한 직관은 어디서 왔을까? 사람들은 동전 던지기를 통해 얻을 수 있는 경우의 수는 앞면 또는 뒷면이라는 것을 알고 있다.
결과적으로 두 가지 경우의 수 중 앞면은 하나 뿐이니 50%라는 결론에 다다르게 되는 것이다.
이를 정리하면 다음과 같다.
어떤 사건의 확률 = (그 사건이 일어날 수 있는 경우의 수) / (총 경우의 수)
확률의 주요 개념
위에서 얻는 결론을 수학적으로 표현할 수 있는 방법에 대해 알아볼 것이다. 그 전에 몇가지 개념에 대해 알아야 한다.
표본 공간 (sample space) : $S$, $\Omega$
실험으로부터 나온 모든 결과의 집합을 표본 공간이라고 한다.
여기서 실험이란 말이 되게 거창하게 들리지만 동전을 던지거나, 주사위를 던지는 등의 행위도 실험이라고 할 수 있다.
그렇다면 주사위를 던지는 문제의 표본공간은 어떻게 될까?
우리가 알고 있는 일반적인 주사위를 던진다고 생각해보면 표본공간은 다음과 같을 것이다.
\[S =\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\]사건 (event) : $A$, $B$..
표본공간의 부분 집합 ($A \subset S)$을 사건이라고 한다.
이번엔 주사위를 하나가 아닌 두 개를 던져보자. 이때의 표본공간은 다음과 같다.
\[S =\{(1, 1), (1,2) (1,3)..(6,6)\}\]여기서 사건이란 표본공간의 부분 집합이라고 했다. 그렇다면 ‘합이 7이 되는 사건’에 대해 생각해보자.
‘합이 7이 되는 사건’은 다음과 같을 것이다.
\[E =\{(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3) (5, 2), (6, 1)\}\]이처럼 표본공간의 부분 집합이 되는 사건들을 많을 것이다. 또한 사건들도 연산이 가능하다.
사건의 연산
- 합사건: $A \cup B$
- 곱사건: $A \cap B$
- 여사건: $A^C$
- 배반(mutually disjoint)사건: $A \cap B = \phi$
확률의 공리
공리라는 것은 a = b then a + c = b + c와 같이 정해진 사실(fact)이다. 따라서 증명할 필요가 없다.
이처럼 확률론에도 콜모고로프의 공리 (Kolmogorov’s aximos)라고 불리는 공리가 3가지 있다.
이에 대해 알아보자.
1. 표본공간의 확률을 모두 더하면 1이다.
\[P(S) = 1\]2. 모든 사건에 대해 확률은 실수이고 0 또는 양수이다.
\[0 \le P(E) \le 1\]3. 서로 배반인 두 사건의 합집합의 확률은 각 사건의 확률의 합이다.
\[𝐴 ∩ 𝐵 = ∅ → 𝑃(𝐴∪𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵)\]상호배타적인 사건들이 있을 때, 적어도 하나의 사건이 발생할 확률은 공리(3)을 사용하여 모든 이벤트들의 확률의 합으로 구한다.
확률의 기본 성질
이번엔 확률의 공리로부터 얻을 수 있는 확률의 기본 성질에 대해 알아보자.
1. 공집합인 사건의 확률은 0이다.
\[P(\phi) = 0\]2. 어떤 사건의 여집합인 사건의 확률은 (1- 원래사건의 확률)과 같다.
\[P(E^C) = 1 - P(E)\]확률의 공리로부터 사건 𝐴와 사건 𝐵가 배반이라면
$𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵)$이다. 이때 $B = A^C$일 경우 $𝐴$와 $B$의 공통원소는 없다.
\[P(A \cup A^C) = P(\Omega)=1=P(A) + P(A^C) \\ \therefore P(A^C) = 1 - P(A)\]따라서 $P(E^C) = 1 - P(E)$가 성립한다.
3. 사건 E가 F의 부분집합이라면 P(E) ≤ P(F)이다.
\(E \subset F\) 이라면 \(P(A) \le P(B)\) 이다.