우리는 지금까지 사건 A가 일어났을 때의 확률만을 알아보았다.
이번 글에선 사건 B가 일어났다는 가정 하에 사건 A가 일어날 확률에 대해 알아볼 것이다.
또한 언제 조건부 확률을 사용하는지에 대해서도 생각해볼 것이다.
조건부 확률 Conditional Probability
조건부 확률이란?
조건부 확률이란 사건 𝐴가 일어났다는 조건 하에 사건 𝐵가 일어날 확률을 말하며 공식은 아래와 같다.
\[P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}, \quad for \,\,\, P(A) > 0\]이처럼 $P(A)$와 $P(A \cap B)$을 알면 $P(B \mid A)$를 구할 수 있다.
만약 $A$와 $B$가 배반 사건이라면
\(P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{0}{P(A)} = 0\) 이다.
만약 $B$ $\subset$ $A$라면 \(P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{P(A)}{P(A)} = 1\) 이다.
예시: 자루 안에서 당첨 공 뽑기
백화점에 갔는데 우연하게도 100만 번째 손님으로 선정되어 이벤트에 참여할 기회가 생겼다.
40개의 공이 담긴 자루 안에서 당첨 공을 뽑는다면 부리부리 왕국에 가는 비행기 티켓을 준다고 한다.
| - | 빨간색 | 파란색 |
|---|---|---|
| 당첨 | 1 | 3 |
| 꽝! | 19 | 17 |
빨간색의 공을 뽑았을 때, 당첨 공인 확률은 얼마가 될까?
$P(R)$ = 빨간색 공을 뽑을 확률, $P(D)$ = 당첨될 확률이라고 하자.
우리가 궁금한 것은 빨간색 공을 뽑았는데 해당 공이 당첨일 확률이다.
\[P(D|R) = \frac{P(D \cap R)}{P(R)}\]이는 위와 같이 표현할 수 있다. 여기에 숫자를 대입해보자.
\[\frac{P(D \cap R)}{P(R)} = \frac{n(D \cap R)}{n(R)} = \frac{1}{20}\]부리부리 왕국에 갈 수 있는 확률은 $\frac{1}{20}$이다.
곱의 법칙 Multiplicative Rules
곱의 법칙이란?
조건부 확률의 정의를 바꿔 쓰면
\[𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = P(A)𝑃(B|A) = P(B)P(A|B)\]와 같이 된다.
이 3가지 사건으로 확장하면 아래와 같다.
\[P(A\cap B \cap C) = P(A\cap B)P(C|A \cap B) = P(A)P(B|A)P(C|A \cap B)\]그렇다면 이번엔 사건 $A_1$, $A_2$,..,$A_k$가 있다고 가정하여 일반화를 진행해보자.
\[P(A_1\cap A_2..\cap A_k) = P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A1 \cap A2)..P(A_k|A_1 \cap A_2.. \cap A_{k-1})\]일반화를 도출하는 수식이 굉장히 복잡해보인다..해당 식은 ‘독립’을 알게 되면 굉장히 단순화할 수 있다.
독립 independent
독립을 쉽게 표현하자면 옆동 아저씨의 저녁 메뉴가 나의 저녁 메뉴에 영향을 끼치지 않는 것과 같다고 할 수 있다.
옆동 아저씨가 저녁 메뉴로 김치찌개를 먹든 된장찌개를 먹든 나의 저녁 메뉴에는 영향을 끼치지 않는다.
이와 같이 사건 𝐴의 발생이 사건 𝐵의 발생에 전혀 영향을 미치지 않을 때, 사건 𝐴, 𝐵는 독립 independent이라고 한다.
이를 수학적으로 표현하면 아래와 같다.
\[𝑃(B|A) = 𝑃(B)\]눈여겨봐야할 것은 독립인 경우에는 조건부 확률과 원래 확률이 같아진다.
\[𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = P(A)𝑃(B|A)\]위에서 곱셈 법칙을 통해 도출해낸 식이다.
여기서 사건 A와 사건 B가 독립이라는 가정을 한다면
\[𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)\]조건부 확률의 수식이 위와 같이 변한다.
곱의 법칙에 응용
이를 기존에 조건부 확률 공식에 대입해보자.
\[P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{P(A)P(B)}{P(B)} = P(A)\]이러한 연산 결과 때문에 $P(A \mid B)$가 $P(A)$가 되는 것이다.
다시 곱셈 법칙의 일반화를 도출할 때로 돌아와보자.
독립이라는 가정이 추가 된다면 $𝑃(𝐴_1 \cap A_2)$, $P(A_2 \cap A_3)$가 $P(A_1)$, $P(A_2)$로 바뀌게 되면서 식이 다음과 같이 간소화 된다.
\[P(A_1\cap A_2..\cap A_k) = P(A_1)P(A_2)P(A_3)..P(A_k)\]다음 글에선 조건부 확률을 응용한 베이즈 정리에 대해 알아보자.